예비 대학원생의 논문 리뷰 뽀개기

Lebesgue integral (르벡 적분)리만 적분 복습리만 적분은 정의역을 분할해 면적을 근사하는 방식이다.리만 적분의 직관적 정의리만 적분은 구간 \([a,b]\)를 분할 \(P=\{a=x_0로 쪼개고, 각 부분구간 \(I_i=[x_{i-1},x_i]\)에서 함수값을 이용해 직사각형 면적을 합산하는 극한으로 정의한다.리만 적분 가능성은 “상합과 하합이 같은 값으로 모이는가”로 판정한다.하합은 각 구간의 최솟값으로 만든 면적 합이다.\[L(f,P)=\sum_{i=1}^{n}\left(\inf_{x\in I_i} f(x)\right)\Delta x_i\]상합은 각 구간의 최댓값으로 만든 면적 합이다.\[U(f,P)=\sum_{i=1}^{n}\left(\sup_{x\in I_i} f(x)\right)\..

👉Lebesgue measure (르벡 측도) 복습Lebesgue measure는\(\mathbb R^n\)에서 길이·넓이·부피라는 기하학적 직관을극한, 분해, 적분과 완전히 양립하도록 만든 표준적인 measure (측도)이다.르벡 측도는 다음 성질들을 동시에 만족한다.단위 큐브의 부피가 1이다.translation invariance (평행이동 불변성)을 가진다.scaling rule (스케일 규칙)을 따른다.countable additivity (가산 가법성)을 만족한다.completeness (완비성)을 가진다.즉,“우리가 부피라고 부르고 싶은 모든 성질을 끝까지 밀어붙인 결과”가르벡 측도다.👉우리가 원래 하고 싶었던 목표측도론과 해석학의 목표는 아래처럼 나타낼 수 있다.“집합의 크기를 재고,함..

👉 출발점: 우리가 진짜로 하고 싶은 것측도론의 목적“집합의 크기(길이, 넓이, 확률)를 숫자로 재고 싶다.”이때 재는 대상은 점이 아니라 집합(사건)이다 👉 그냥 다 재면 안 되나?그래서 처음엔 이렇게 생각한다.“\(X\)의 모든 부분집합에 크기를 정의하면 되지 않나?”이게 바로 P(X)이다.즉 , \(P(X)\) = 재고 싶은 모든 후보를 다 모아놓은 것이다.P(X) = power set of set \(X\): 집합 \(X\)의 모든 부분집합들을 원소로 가지는 새로운 집합한국어로 ‘멱집합’\(P(X)\)로 나타냄ex) \(X=\{a,b\}\)이면 \(P(X)=\{\varnothing,\; X,\; \{a\},\; \{b\}\}\)measure theory에서의 직관적 의미: \(X\)에서 구분할..